Des suites de nombres - Activité

On considère les cinq premiers termes de quatre suites numériques :

• première suite : 2 ; 5 ; 8 ; 11 ; 14 ; ... ;
  
• deuxième suite : 4 ;  3,7  ;  3,4  ;  3,1  ;  2,8 ; ... ;
  
• troisième suite : 10 ; 20 ; 40 ; 80 ; 160 ; ... ;
  
• quatrième suite :  `-1` ;  \(-\dfrac{2}{3}\) ;  `-\frac{1}{3}` ;  `0` ;  `\frac{1}{3}`  ; ...
  

1. Compléter de façon logique chacune de ces suites en donnant les deux termes suivants et en expliquant la règle utilisée.

2. Parmi ces quatre suites, indiquer celles qui sont arithmétiques en précisant le premier terme et la raison.

Dans la suite de l'activité, on nommera  `u` la deuxième suite et on notera  `u(0)` le premier terme de cette suite,  `u(1)` le deuxième terme...

3. Donner la valeur de  `u(0)` et écrire la formule de récurrence permettant de définir la suite  `u` en exprimant, pour tout entier naturel  `n`  ,  `u(n+1)` en fonction de `u(n)` .

4. On souhaite calculer à l'aide d'un tableur les termes successifs de cette suite.

    a. Recopier la feuille de calcul ci-dessous dans un tableur ou télécharger le fichier de la perle suivante.

    b. Dans la colonne A, on souhaite écrire la liste des nombres entiers de 0 à 100. On pourra sélectionner les deux cellules A2 et A3 puis étirer le petit carré noir en bas à droite en maintenant le clic gauche de la souris enfoncé jusqu'à la cellule A102.

    c. Parmi les trois formules suivantes, quelle est celle que l'on peut écrire dans la cellule B3 et recopier vers le bas pour calculer les termes successifs de la suite  `u` ? 

             =A3+4                                  =4-0,3                            =B2-0,3

Compléter alors la colonne B par tous les termes de la suite de  `u(0)` à `u(100)` . Pour cela, sélectionner la cellule B3 puis étirer le petit carré noir en bas à droite en maintenant le clic gauche de la souris enfoncé jusqu'à la cellule B102.

    d. Déterminer la formule explicite de la suite  `u` permettant de calculer, pour tout entier naturel `n` ,  `u(n)` en fonction de `n` .

    e. En déduire la valeur de  `u(80)`  et vérifier la réponse à l'aide du tableur.

    f. Déterminer algébriquement la plus petite valeur de  `n` telle que  \(u(n)<-11\)  et vérifier la réponse à l'aide du tableur.

    g. En utilisant la formule explicite de la suite `u` , proposer une formule à écrire dans la cellule C2 et à recopier vers le bas qui permette également de calculer les termes successifs de la suite `u` .

Vérifier la réponse en complétant à l'aide de cette formule la colonne C et en comparant avec la colonne B.

    h.  Sélectionner la plage de cellules A2:B22 et, à l'aide de l'assistant graphique, construire un nuage de points afin de représenter les points de coordonnées  \((n~;u(n))\) pour  `n` variant de 0 à 20.

Que constate-t-on ? Proposer une explication.

5. Pour les plus rapides...

Reprendre les questions 3 et 4 (excepté la question 4. f) avec les deux autres suites arithmétiques que l'on pourra noter  `v` et `w` .

Pour la question 4. c, aucune des trois formules proposées ne convient pour les suites  `v`  et  `w` . Il faudra donc déterminer, dans chacun des cas, la formule à écrire dans la cellule B3 pour calculer, en la recopiant vers le bas, les termes successifs de la suite.